Hypotézy o prvočíslach

Goldbachova hypotéza

Táto hypotéza hovorí, že každé prirodzené párne číslo väčšie ako 2 sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísel. Hypotéza prvýkrát vznikla, keď v roku 1742 napísal Christian Goldbach Leonhardovi Eulerovi, že každé párne číslo by sa malo dať zapísať ako súčet dvoch prvočísel (V tej dobe sa počítalo, že 1 je prvočíslo, takže 2=1+1 bolo možné). Euler mu na to odpovedal, že si myslí, že má pravdu, no nevedel nájsť žiadny dôkaz. Žiadny dôkaz sa nenašiel doteraz. Isté pokroky avšak predsa len nastali. Bolo overené, že do čísla 4 × 10¹⁸ neexistuje žiadne párne číslo, ktoré sa nedá zapísať ako súčet dvoch prvočísel. V roku 1973 dokázal Chen Jing-Run, že každé párne číslo sa dá zapísať ako súčet poloprvočísla (to je buď prvočíslo, alebo súčin dvoch prvočísel) a prvočísla. Keď si urobíš graf, pre ktorý sú na jednej osi párne čísla a na druhej to, koľko spôsobmi sa dá toto číslo rozložiť na súčet dvoch prvočísel, dostaneš útvar, ktorý sa nazýva Goldbachova kométa.

Hypotéza prvočíselných dvojčiat

Prvočíselné dvojčatá sú dve prvočísla, ktorých rozdiel je 2. Hypotéza prvočíselných dvojčiat tvrdí, že existuje nekonečne veľa prvočíselných dvojčiat. Prvočíselné dvojčatá majú až na dvojicu 3, 5 tvar 6n-1, 6n+1. V roku 2004 podal Richard Arenstorf dôkaz tejto hypotézy, no ten dôkaz obsahoval závažnú chybu. Doteraz nie je známe, či je hypotéza pravdivá alebo nie, aj keď si väčšina matematikov myslí, že je pravdivá. Zatiaľ najväčšie známe prvočíselné dvojčatá sú 2996863034895·2^1290000+1 a 2996863034895·2^1290000-1.

Legendrova hypotéza

Táto hypotéza hovorí, že medzi číslami N² a (N+1)² je aspoň jedno prvočíslo. Táto hypotéza musí platiť, ak platí Andricova hypotéza (rozdiel odmocnín dvoch po sebe idúcich prvočísel je menší alebo rovný číslu jedna), lebo ak by platila Andricova hypotéza a neplatila by Legendrova hypotéza, tak musí existovať také N, že medzi N² a (N+1)² nie je žiadne prvočíslo, no potom by bol rozdiel odmocnín dvoch prvočísel „okolo“ týchto čísel viac ako 1, lebo rozdiel odmocnín N² a (N+1)² je 1.